数学中什么叫定理

数学中什么叫定理

凡是可以判断正误的陈述句称之为命题(proposition)，例如“3比2大”，“两条边相等的三角形是两底角也相等”，“英国的首都是伦敦”都是命题，并且判断为正确，“平面上三角形内角和是170度”，就是一句判断为错误的命题。

而“身高超过175算是高个子”就不是命题，因为这句话的正误对不同人而言是不一样的，“明早8点取一下快递”就更不是命题了。

正确的命题里面又区分为公理(axiom)，公设(postulate)，定理(theorem)，定律(law)，定则(rule)和原理(principal)。这几个概念的含义是不一样的。

公理指的是大家都认为是正确，但是却又无法利用已有的结论来证明出的命题，例如“1+1=2”，“两点之间直线最短”等等(当然，随着数学不断地深入发展，上面说的这两个公理也是可以被其它更基础的公理所证明的，但我们这里暂时不谈)。

公设指的是大家不知道它是不是正确的，但是为了研究需要，我们就假定它是正确的这样的命题。比如大名鼎鼎的欧几里得第五公设：“若两条直线被一直线截得的一组同侧内角之和小于二直角，则适当延长这两条直线，必在和小于二直角的一侧相交”。而经济学上公社用的更是广泛，比如最著名的理性人假说(虽然叫假说，但实质是公设)：所有人都是理性的。即在面对同一个问题不同解决方案时，一定会选择那个使自己收益最大的方案。

定理指的是利用已知结论，通过逻辑推导得到的结论。数学上除了公理外，所有的定理都是这么来的。定理又分为三种，引理(Lemma)，定理(Theorem)和推论(Corollary)，这三种命题之间没有严格的划分，一般来说，用途较多，重要性较高的称之为定理，证明一个重要性较高的定理所需要的不太重要的定理称之为引理，由重要性较高的定理直接推导出来的定理称为推论。比如高等数学里面利用费马定理来推拉格朗日中值定理，费马定理就可以称为一个小的引理。

定律指的是人们通过对大自然或实验进行观察，所得到的一般规律。它不是用已有结论逻辑推导出来的，而是归纳总结出来的。例如开普勒三定律，它不是经过推理得到的，而是经过对大量天体与行星的运动的观察，发现他们都遵循一个普遍的规律，于是总结出来开普勒三定律。再比如牛顿运动三定律，万有引力定律等等。都是经过观察或做实验直得到的。定律在物理学上出现的比较多。

定则是人为规定的一种法则。比如计算向量叉乘的右手定则，食指指向被乘向量，中指指向乘向量，那么我们就规定大拇指指的就是结果向量的方向。当然人们规定这些法则不是盲目规定，而是根据自然界中的物理现象来规定的。

原理有点类似于定律，它与定律之间的界限也不是很清晰，甚至还有一些原理有点类似于定理，因此它是上面所有概念中最模糊的一个。它有时候指依赖自然观察得到的规律，比如勒夏特列原理；有时候也只经过逻辑推导，比如说测不准原理。

通过上述分析我们发现，一个理科学科里面都有可能包含上面所有的内容，而定理，当然不是只有数学中才有。定理的产生靠的是逻辑推导，而数学就是逻辑推导的工具。因此，但凡以数学为研究工具的学科里边，肯定都包含大量定理。比如物理学和经济学，尤其以经济学最多，比如经济学上做比较静态研究，即研究一个经济过程中参数的变化对最优经济产出结果的影响，最常用的工具——包络定理